Berechnen der jährlichen solaren Bestrahlungsstärke 
- der SOLARRECHNER -

Dr. Engin Bagda

Einleitung

Mit dem SOLARRECHNER kann der solare Energieeintrag in Gebäude und auf PV-Module berechnet werden. Es basiert auf die VDI 6007-3 „Berechnung des instationären thermischen Verhaltens von Räumen und Gebäuden” Teil 3 “Modell der solaren Einstrahlung” (siehe Berechnung der solaren Bestrahlungsstärke nach VDI 6007-3. Der SOLARRECHNER benutzt die örtlichen solaren Bestrahlungsstärken des Deutschen Wetterdienstes, wie in Rasterdaten zur Sonnenstrahlung beschrieben. Damit wird erreicht, dass im Jahresdurchschnitt die durch Wolken verursachten Veränderungen der Bestrahlungsstärken der Sonne berücksichtigt werden.

Wolken  
Auf dem Bild von Rembrandt „an der Steinernen Brücke“ (Abbildung 1) ist zu sehen, wie unterschiedlich die Bestrahlungsstärke der Sonne in Abhängigkeit der optischen Dichte von Wolken sein kann. In der Mitte des Bildes sind die Brücke und die Pappel unter einem leichtbewölktem Himmel in vollem Sonnenschein. Rechts oben ist eine dunkle Wolke, die auf die Straße und das dahinter liegende Dorf einen dunklen Schatten wirft. Die Herausforderung eines Simulationsprogramms zur Berechnung der Bestrahlungsstärke ist, diese Unterschiede statistisch relevant über das Jahr mathematisch darzustellen.

Abbildung 1: Rembrandt, An der Steinernen Brücke, Rijksmuseum, Amsterdam

Berechnen der täglichen Bestrahlungsstärke

Der SOLARRECHNER berechnet die Tagessummen der Bestrahlungsstärke auf eine Fläche \(Surface_{total}\) wie folgt:

\(Surface_{total}=Surface_{direct}+Surface_{diffuse} \quad (1)\)

\(Surface_{direct} = \frac { Horizontal_{direct} \cdot cos(\xi)} {sin(\gamma_{S})} \cdot {SSW} \quad (2) \)

\(Surface_{diffuse} =Surface_{reflec} + Surface_{sky} \quad (3)\)

\(Surface_{reflec} = 0,5 \cdot Horizontal_{global} \cdot Reflection_{ground} \cdot [1 - cos(\gamma_{Surface})] \cdot SSW \quad (4)\)

\(Surface_{sky} = Horizontal_{sky} \cdot (R_{sym} + R_{iso}) \cdot DFW \quad (5)\)

\(Horizontal_{direct} = Horizontal_{global} - Horizontal_{sky} \quad (6)\)

\(Surface_{total}\) : Bestrahlungsstärke auf die Fläche auf die Fläche in W/m²
\(Surface_{direct}\): Bestrahlungsstärke der direkten Sonnenstrahlung auf die Fläche in W/m²
\(Surface_{diffuse}\): Bestrahlungsstärke der diffusen Sonnenstrahlung auf die Fläche in W/m²
\(Surface_{reflec}\) : Bestrahlungsstärke der aus der Umgebung reflektierten Sonnenstrahlung in W/m²
\(Horizontal_{direct}\) : Bestrahlungsstärke der direkten Sonnenstrahlung auf die Horizontale in W/m²
\(Horizontal_{global}\): Bestrahlungsstärke der Sonnenstrahlung auf die Horizontale in W/m²
\(Horizontal_{sky}\): Bestrahlungsstärke der diffusen Sonnenstrahlung auf die Horizontale in W/m²
\(Reflection_{ground}\): Reflektionszahl der Umgebung, wird mit 0,2 angenommen
\(\xi\) : Einfallwinkel der Sonnenstrahlung auf die Fläche in Grad
\(\gamma_{S}\) : Sonnenhöhe in Grad
\(\gamma_{Surface}\): Neigungswinkel der Fläche in Grad
\(SSW\): Minderungsfaktor für die Bestrahlungsstärke bei bedecktem Himmel
\(DFW\) : Minderungsfaktor für die diffuse Bestrahlungsstärke
\(R_{sym}\) : Umrechnungsfaktor der rotationssymmetrischen diffusen Bestrahlungsstärke auf die Fläche
\(R_{iso}\) : Umrechnungsfaktor der isotropen diffusen Bestrahlungsstärke auf die Fläche

Ausgangsgrößen des Rechenprogramms sind \(Horizontal_{global}\) und \(Horizontal_{sky}\) der örtlichen globalen und diffusen Bestrahlungsstärke in Gleichung 6. Diese werden mit dem Algorithmus Rasterdaten zur Sonnenstrahlung aus den Messungen des Deutschen Wetterdienstes für jeden Tag des Jahres berechnet.

Zur Berechnung der Bestrahlungsstärke auf eine beliebig geneigte und orientierte Fläche werden die beiden Minderungsfaktoren \(SSW\) in Gleichung 2 und 4 sowie \(DFW\) in Gleichung 5 eingeführt.

\(SSW\) ist das Verhältnis der Tagessumme der gemessenen Globalstrahlung \(Horizontal_{global, \,DWD}\) auf die Horizontale zur Tagessumme der Globalstrahlung \(Horizontal_{global,\, VDI\, 6007-3,\, SSW=1}\) , berechnet nach VDI 6007-3 für klaren Himmel (Gleichung 7).

\(SSW = {\cfrac {Horizontal_{global, \,DWD}} {Horizontal_{global,\, VDI\, 6007-3,\, SSW=1}}} \quad (7)\)

\(DFW\) ist das Verhältnis der Tagessumme der gemessenen diffusen Bestrahlungsstärke \(Horizontal_{sky, \,DWD}\) auf die Horizontale zur Tagessumme der diffusen Bestrahlungsstärke \(Horizontal_{sky,\, VDI\, 6007-3,\, SSW=1}\), berechnet nach VDI 6007-3 für klaren Himmel (Gleichung 8).

\(DFW = {\cfrac {Horizontal_{sky, \,DWD}} {Horizontal_{sky,\, VDI\, 6007-3,\, SSW=1}}} \quad (8)\)

\(SSW\) in den Gleichungen 2 und 4 ist ein Minderungsfaktor der Tagessumme der Globalstrahlung berechnet nach der VDI 6007-3 bei klarem Himmel.

\(DFW\) in Gleichung 5 ist ein Minderungsfaktor der Tagessumme der diffusen Globalstrahlung berechnet nach der VDI 6007-3 bei klarem Himmel.

Bei der Berechnung mit dem SOLARRECHNER wird davon ausgegangen, dass \(SSW\) über den ganzen Tag die direkte Bestrahlungsstärke und \(DFW\) die diffuse Bestrahlungsstärke mindert. 

Der SOLARRECHNER berechnet nach dem Sonnenaufgang in Schritten von 5-Minuten nach VDI 6007-03 für den klaren Himmel die direkte und diffuse Bestrahlungsstärke auf die beliebig geneigte und orientierte Fläche und mindert diese um die Faktoren \(SSW\) und \(DFW\).

Bei der Berechnung der diffusen Bestrahlungsstärke auf die Fläche \(Surface_{sky}\) wird in Gleichung 5 angenommen, dass die Himmelstrahlung aus gleichen Anteilen der rotationssymmetrischen und isotropen diffusen Strahlung besteht. \(R_{iso}\) und \(R_{sym}\) berücksichtigen dabei die Neigung und Orientierung der Fläche sowie die Sonnenposition im Laufe des Tages (siehe Berechnung der solaren Bestrahlungsstärke nach VDI 6007-3).

Die Summe dieser 5-Minutenwerte bis zum Sonnenuntergang sind die Tagessummen der direkten und diffusen Einstrahlung auf die beliebig geneigte und orientierte Fläche in kWh/m²/Tag.

Validierung des SOLARRECHNERs

Der Stromertrag von Photovoltaik-Modulen (PV-Modulen) ist annäherungsweise proportional der Sonnenstrahlung. Der Stromertrag von PV-Modulen kann von den Wechselrichtern für Stunden, Tage und Monate abgefragt werden. Es wurde diese Möglichkeit genutzt, um die Ergebnisse des SOLARRECHNERs in Verbindung mit dem Algorithmus Rasterdaten für solare Einstrahlung zu überprüfen, in dem der Stromertrag von verschiedenen Photovoltaik Anlagen mit den berechneten Werten vom SOLARRECHNER verglichen werden (siehe Validierung des Solarrechners).

Es wird festgestellt, dass mit dem SOLARRECHNER die monatlichen und jährlichen Stromerträge von PV-Anlagen mit einem Bestimmtheitsmaß R²  besser als 0,96 bestimmt werden können.